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2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
                  5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式  ，其中  是锥体的底面积，  是锥体的高
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１．巳知全集  ，集合  和  的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．３个                                                                            Ｂ．２个
Ｃ．１个                                                                          Ｄ．无穷个
２．设  是复数，  表示满足  的最小正整数  ，则对虚数单位  ，  
Ａ．８                                    Ｂ．６                                    Ｃ．４                                    Ｄ．２
３．若函数  是函数  的反函数，其图像经过点  ，则  
Ａ．                      Ｂ．                      Ｃ．                      Ｄ．  
４．巳知等比数列  满足  ，且  ，则当  时，  
Ａ．                Ｂ．                Ｃ．                Ｄ．  
数学（理科）试题8第1页（共4页）
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是
Ａ．①和②                  Ｂ．②和③                  Ｃ．.③和④                  Ｄ．②和④
6．一质点受到平面上的三个力  （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知  成  角，且  的大小分别为２和４，则  的大小为
Ａ．６                  Ｂ．２                  Ｃ．                    Ｄ．  
7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
Ａ．36种            Ｂ．12种            Ｃ．18种            Ｄ．48种
8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为  （如图2所示）．那么对于图中给定的  ，下列判断中一定正确的是
A．在  时刻，甲车在乙车前面
B．  时刻后，甲车在乙车后面
C．在  时刻，两车的位置相同
D．  时刻后，乙车在甲车前面
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（９～１２题）
９．随机抽取某产品  件，测得其长度分别为  ，则图3所示的程序框图输出的                ，表示的样本的数字特征是              ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
１０．若平面向量  满足  ，  平行于  轴，  ，则                ．
11．巳知椭圆  的中心在坐标原点，长轴在  轴上，离心率为  ，且  上一点到  的两个焦点的距离之和为12，则椭圆  的方程为              ．
数学（理科）试题B  第2页（共4页）
12．已知离散型随机变量  的分布列如右表．若  ，  ，则                ，                ．
（二）选做题（13  ~  15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线  与直线  （  为参数）垂直，则                ．
14．（不等式选讲选做题）不等式  的实数解为              ．
15．(几何证明选讲选做题）如图4，点  是圆  上的点，  且  ，则圆  的面积等于              ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，
16．(本小题满分12分）
已知向量  互相垂直，其中  ．
（1）求  的值；
（2）若  ，求  的值．
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间  进行分组，得到频率分布直方图如图5

（1）求直方图中  的值；  
（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
(结果用分数表示．已知
）
数学〈理科）试题B  第3页（共4页)
18．（本小题满分１４分）
如图６，已知正方体  的棱长为２，点Ｅ是正方形  的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱  的中点．设点  分别是点Ｅ、Ｇ在平面  内的正投影．
（１）求以Ｅ为顶点，以四边形  在平面  内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（２）证明：直线  ；
（３）求异面直线  所成角的正统值


19．（本小题满分１４分）
已知曲线  与直线  交于两点  和  ，且  ．记曲线  在点  和点  之间那一段  与线段  所围成的平面区域（含边界）为  ．设点  是  上的任一点，且点  与点  和点  均不重合．
（１）若点  是线段  的中点，试求线段  的中点  的轨迹方程；
（２）若曲线  与点  有公共点，试求  的最小值．
20．（本小题满分１４分）
已知二次函数  的导函数的图像与直线  平行，且  在  处取得极小值  ．设  ．
（１）若曲线  上的点  到点  的距离的最小值为  ，求  的值；
（２）  如何取值时，函数  存在零点，并求出零点．
21．（本小题满分１４分）
已知曲线  ．从点  向曲线  引斜率为  的切线  ，切点为  ．
（１）求数列  的通项公式；
（２）证明：  
数学（理科）试题Ｂ  第４页（共４页）

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